ಮೋಬಿಯಸ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಅಂಕೋತ್ಪನ್ನ. ಈ ಅಂಕೋತ್ಪನ್ನ (ಅರಿತ್‌ಮೆಟಿಕಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್) μ() ಎಂಬುದು ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕೆ ಮೋಬಿಯಸ್ ನೀಡಿದ ಉತ್ತಮ ಕೊಡುಗೆ. ಇಲ್ಲಿ = ಚರ. ಇದು ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಎಂದರೆ = {1, 2, 3, ...} ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾದರೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಅರ್ಥಾತ್ μ() ಉತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಾಂತ್ಯ () ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಂತ್ಯವಾಗಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಅಂಕೋತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದಿದೆ. ಈಗ > 1 {\ >1} ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಯಾವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಲಿ, ಅದನ್ನು ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಅನುವರ್ತಿಸುವುದು. ಇಂಥ ಅಪವರ್ತನವು () ಏಕೈಕ ಮಾತ್ರ. ಇದರಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು (ಪ್ರೈಮ್ಸ್) ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಲ ಬಂದಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆ (1): 12 = 2 2 3. ಇಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ 2. ಇದು ಎರಡು ಬಾರಿ ಬಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ (2): 15 = 3 5. ಇದು ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾದ 3 ಮತ್ತು 5 ರ ಗುಣಲಬ್ಧ. == ಮೋಬಿಯಸ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ == ಈ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಮೋಬಿಯಸ್ ಉತ್ಪನ್ನ μ ವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ವ್ಯಾಖ್ಯೆ 1: μ(1) = 1 ಮತ್ತು > 1 , ϵ {\ >1,\ } ಆದಾಗ ಎಂಬುದು ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ μ ( ) = ( − 1 ) {\ \ ()=(-1)^{}} ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗಲ್ಲದೆ ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚುಸಲ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದ್ದರೆ, μ ( ) = 0 {\ \ ()=0} ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದು. ಉದಾಹರಣೆ (1): μ ( 12 ) = 0 {\ \ (12)=0} ಮತ್ತು μ ( 15 ) = ( − 1 ) 2 = 1 {\ \ (15)=(-1)^{2}=1} ವ್ಯಾಖ್ಯೆ 2: ξ {\ \ } ಯಾವುದೇ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಈಗ ≤ ξ < ( + 1 ) {\ \ \ <(+1)} ಆಗುವಂಥ ಕನಿಷ್ಠತಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ( ) ಏಕೈಕವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಈ ನನ್ನು ξ {\ \ } ನ ಪೂರ್ಣಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು = [ ξ ] {\ =[\ ]} ಎಂದು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುವುದು. == ಪ್ರಮೇಯಗಳು == ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ μ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ಗುಣ ವಿಶೇಷಗಳನ್ನು ಮುಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯ 1: ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೂ ∑ ∣ μ ( ) = { 1 = 1 , 0 > 1. {\ \ _{\ }\ ()={\{}1&{\{ }}=1,\\0&{\{ }}>1.\{}}} ಆದಾಗ ಇಲ್ಲಿ ಯು ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. Σ ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕವಾದರೊ Σ ಸಂಕಲನ ಯ ಎಲ್ಲ ಅಪವರ್ತನ ಗಳ ಮೇಲೆ ಸಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ 2: [ ξ ] {\ [\ ]} ; ∑ μ ( ) [ ξ / ] = 1 {\ \ \ ()[\ /]=1} ; =1 ಪ್ರಮೇಯ 3: > 1 ಆದರೆ, | ∑ = 1 μ ( ) | ≤ 1 {\ \|\ _{=1}^{}{\ {\ ()}{}}\|\ 1} ಪ್ರಮೇಯ 4: ಯಾವುದೇ ಅಂಕೋತ್ಪನವಾದರೂ ( ) = ∑ ∣ ( ) {\ ()=\ _{\ }()} ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇದರ ವಿಲೋಮ ಸಂಬಂಧ ( ) = ∑ ∣ μ ( ) ( ) {\ ()=\ _{\ }\ ()\({\ {}{}}\)} ಪರಿಪಾಲಿತವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಮೋಬಿಯಸ್ ವಿಲೋಮಸೂತ್ರ. == ಉಲ್ಲೇಖಗಳು == == ಮೂಲಗಳು == == ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು == , ., "Möbius ", .